Esercizi - La luce nella meccanica quantistica: i fotoni

Esercizio 1

Stabilire se facendo incidere la radiazione di lunghezza d’onda su una lastrina d’argento si ha emissione di fotoelettroni (il lavoro di estrazione per l’argento è ).
In caso affermativo calcolare l’energia cinetica degli elettroni che fuoriescono dal metallo.

Soluzione
Per avere emissione di elettroni da una superficie metallica è necessario che l’energia del fotone sia superiore (o almeno uguale) al lavoro necessario per estrarre l’elettrone dal metallo; dato che , deve essere .
Ricordando che la frequenza è legata alla lunghezza d’onda lambda dalla relazione , si ha che l’energia del singolo fotone incidente, in questo caso, è:

L’energia del fotone è superiore al lavoro di estrazione e pertanto con radiazione di questa lunghezza d’onda (che cade nella parte dell’ultravioletto) si osserverà l’emissione di elettroni dal metallo.
Conoscendo il lavoro di estrazione si può anche ricavare il valore della frequenza di soglia:

e la corrispondente lunghezza d’onda di soglia:

Si può quindi concludere che per l’argento si ha emissione di fotoelettroni se la radiazione ha frequenza superiore a oppure, equivalentemente, una lunghezza d’onda inferiore a 263 nm. Se la radiazione incidente ha frequenza proprio pari a , gli elettroni possono uscire dal metallo, ma con energia cinetica praticamente nulla.
Per calcolare l’energia cinetica con cui viene emesso ogni singolo elettrone per una radiazione di lunghezza d’onda , si utilizza la relazione

Esercizio 2

Supponiamo che la radiazione di lunghezza d’onda di 300 nm colpisca una placchetta di sodio. Sapendo che il lavoro di estrazione per il sodio è determinare se c’è emissione di fotoelettroni e, in caso affermativo, con che energia cinetica gli elettroni escono dal metallo.

Soluzione
Per stabilire se vengono o no emessi dei fotoelettroni bisogna conoscere la frequenza dei fotoni incidenti e la frequenza di soglia del sodio. Conoscendo la lunghezza d’onda della radiazione incidente (supposta nell’aria, quindi circa uguale a quella del vuoto), per trovare la frequenza corrispondente basta ricordare che:

La ferquenza di soglia si ricava dal lavoro di estrazione . Infatti
da cui:

quindi, essendo la frequenza della radiazione incidente superiore alla ferquenza di soglia, si avrà emissione di fotoelettroni ognuno con un’energia cinetica data da:

Esercizio 3 (Effetto Compton)

Supponiamo che dei raggi x di lunghezza d’onda vengano diffusi dagli elettroni liberi in un metallo, in modo che l’angolo tra il raggio diffuso e la direzione di incidenza sia di 90°. Quanto vale la lunghezza d’onda dei raggi diffusi?

Soluzione
La variazione della lunghezza d’onda è data dalla formula

dove è la lunghezza d’onda della radiazione diffusa e teta è l’angolo in gioco. Per un elettrone la lunghezza d’onda Compton è:

Quindi, sostituendo i valori numerici si ottiene: